Revista Agrária Acadêmica
doi: 10.32406/v8n4/2025/119-130/agrariacad
Medidas de curvatura na seleção de modelos não lineares: uma aplicação na predição da mineralização de nitrogênio num latossolo. Curvature measures in nonlinear model selection: an application in predicting nitrogen mineralization in an oxisol.
Luísa Nascimento Ribeiro
1, Edcarlos Miranda de Souza2, Djair Durand Ramalho Frade3, Lorena Yanet Cáceres Tomaya4
1- Discente do Curso de Especialização em Estatística e Bacharel em Ciências Econômicas, Universidade Federal do Acre – UFAC, Campus Rio Branco/AC – Brasil. E-mail: luisalnr@gmail.com
2- Professor Associado da Universidade Federal de Acre – UFAC, Campus Rio Branco/AC – Brasil. E-mail: edcarlos.souza@ufac.br
3- Professor Adjunto da Universidade Federal de Acre – UFAC, Campus Rio Branco/AC – Brasil. E-mail: djair.durand@ufac.br
4- Professor Adjunto da Universidade Federal de Acre – UFAC, Campus Rio Branco/AC – Brasil. E-mail: lorena.tomaya@ufac.br
Resumo
Este trabalho teve como objetivo modelar a mineralização de nitrogênio em um latossolo utilizando seis modelos de regressão não linear e avaliar suas inferências por meio de medidas de curvatura. Foram utilizados dados do experimento de Pereira et al. (2005) e conduzidas simulações no software R. As curvaturas RMS foram analisadas para cada modelo, permitindo avaliar a qualidade das inferências em contextos de amostras pequenas. O modelo de Inubushi et al. (1985) apresentou maior curvatura, comprometendo as inferências, embora simulações indiquem melhora com pelo menos oito repetições. Conclui-se que a curvatura é uma métrica útil para orientar a escolha de modelos não lineares.
Palavras-chave: Local da solução. Efeito parâmetro. Regressão. Métricas.
Abstract
This study aimed to model nitrogen mineralization in an Oxisol using six nonlinear regression models and to evaluate their inferences by the curvature measures. Data from Pereira et al. (2005) were used, and simulations were conducted in R software. RMS curvatures were analyzed for each model, allowing the quality of the inferences to be assessed under small-sample conditions. The model proposed by Inubushi et al. (1985) showed the highest curvature, impairing inference, although simulations indicated improvements with at least eight replicates. It is concluded that curvature is a useful metric to guide the selection of nonlinear models.
Keywords: Solution locus. Parameter-effect. Regression. Metrics.
Introdução
Em diversos trabalhos científicos é comum estabelecer uma relação funcional entre as variáveis estudadas, e como na grande maioria dos experimentos, o pesquisador trabalha com dados amostrais, surge assim a necessidade de verificação da significância dessa relação funcional. Para a verificação estatística dessa relação, é frequente o uso dos chamados modelos de regressão, que consistem no estudo estatístico de uma equação que explica a variação da variável dependente pela variação do(s) nível(eis) da(s) variável(eis) independente(s).
Os modelos de regressão utilizados são classificados em duas categorias principais: lineares e não lineares. A diferença primordial desses dois modelos está na forma como os parâmetros aparecem nos mesmos, se os parâmetros aparecem de forma linear na equação matemática que determina a relação entre as variáveis ele será classificado na categoria dos lineares, caso contrário na classe dos não lineares.
Os estimadores dos parâmetros em um modelo de regressão linear possuem propriedades ótimas sob algumas suposições: normalidade, não tendenciosidade, eficiência, variância mínima, intervalos de confiança exatos, etc. Entretanto, no caso dos modelos não lineares essas propriedades são válidas somente para amostras grandes.
Em geral, não existem fórmulas explícitas para os estimadores dos parâmetros de modelos de regressão não linear, o que faz com que as estimativas sejam obtidas apenas por meio de métodos numéricos, que supõem uma aproximação linear (por Série de Taylor) na região próxima ao valor estimado. Quando o tamanho da amostra cresce, essa aproximação vai se tornando cada vez melhor, no entanto, para amostras pequenas é necessário quantificar essa aproximação.
Bates e Watts (1980) quantificaram tal aproximação utilizando-se do conceito geométrico de curvatura, que pode ser útil, por exemplo, na identificação de não linearidade e na seleção entre dois modelos considerados em um determinado experimento. Embora as medidas de curvatura tenham sido desenvolvidas a mais de quatro décadas, encontrou-se à época dificuldades computacionais de executá-las.
Pesquisas recentes têm mostrado uma combinação desta medida em conjunto com outras métricas de avaliação em modelos de regressão não lineares, possibilitando realizar análises mais robustas e confiáveis (FERNANDES et al., 2015). Por exemplo, na zootecnia, diversos modelos de crescimento não linear são aplicados, onde se tem interesse em avaliar o ciclo de uma espécie ou modelar o crescimento de acordo com a aplicação de diferentes tratamentos. Nesse contexto, Rosa et al. (2022) mostraram que as medidas de curvatura foram mais adequadas para selecionar o modelo de regressão não linear de Wood, dentre 17 possíveis modelos de curvas de lactação da raça Girolano. Outros trabalhos relacionados à modelagem de curvas de crescimento que se utilizaram desta métrica são: Souza et al. (2010), Diel et al. (2019), Jane et al. (2020), Marek et al. (2021), Gonzaga et al. (2024) e Peripolli et al. (2024).
Pereira et al. (2005) estudaram o comportamento de oito modelos não lineares na predição de dados experimentais associados à mineralização de nitrogênio (N) em um Latossolo vermelho distrófico ao Sul de Minas Gerais (Brasil) sob efeito de calagem, obtidos por Silva et al. (1994). Em seu trabalho consideraram os erros com e sem estrutura de autocorrelação na realização e comparação das modelagens. Na pesquisa de estes autores, não foram utilizadas as medidas de não linearidade de Bates e Watts (1980), porém os critérios da qualidade do ajuste para selecionar os modelos utilizados foram: o coeficiente de determinação ajustado, quadrado médio do resíduo e erro de predição médio. Com base nestas métricas, os autores mostraram que o melhor ajuste foi o modelo de Juma (1984) com erros autorregressivos de ordem 2, para a mineralização de N sem calagem, seguido pelos modelos de Cabrera (1993), Stanford e Smith (1972) sem estrutura de erros autorregressivos, tanto para os dados como quanto para aqueles obtidos sem a correção da acidez do solo.
O objetivo deste trabalho é estudar o comportamento das medidas de curvatura no local próximo às estimativas encontradas nos modelos estudados por Pereira et al. (2005), com foco em discutir a viabilidade destas medidas na seleção de modelos não lineares em casos em que o tamanho amostral seja pequeno. Além disso, para o caso em que determinado modelo apresentasse medidas de curvatura elevadas, pondo em dúvida as inferências realizadas, foi realizado um estudo sobre o número de repetições recomendados para reduzir significativamente as curvaturas no espaço resposta.
Material e métodos
Considerando que o foco deste trabalho está em analisar o comportamento da superfície resposta em modelos não lineares nos parâmetros, destacaremos a seguir conceitos importantes, para em seguida indicar os modelos e os dados que foram utilizados.
Modelagem não linear
A definição de um modelo não linear apresentada pela maioria dos autores, como Draper e Smith (1998), Bates e Watts (1988), Ratkowsky (1983) e outros, é que pelo menos uma derivada parcial da variável dependente, com relação a algum parâmetro presente no modelo, depende de algum parâmetro, o que, segundo Gallant (1987) é uma das mais comuns situações em análise estatística, onde dados observados consistem em respostas univariadas y_t, conhecidas como variáveis dependentes e suas correspondentes contribuições x_t, podendo ser representada por equações de regressão (Equação (01)):
y_t=f(x_t,θ)+e_t,t=1,2,…,N, (01)
em que θ=(θ_1,θ_2,…,θ_P )^T é um vetor P-dimensional de parâmetros desconhecidos e e_t é o erro aleatório aditivo, representando fenômenos não observáveis ou erro experimental. Os erros são assumidos independentes e identicamente distribuídos com média zero e variância desconhecida σ^2.
A sequência de valores x_t e o vetor de parâmetros θ definem o valor da função modelo f(x_t,θ) que, sobre as suposições de que E[e_t ]=0, é o valor esperado de y_t condicional a x_t e θ (Bates e Watts, 1980):
E[y_t |x_t,θ]=f(x_t,θ).
Define-se a soma de quadrados dos erros para o modelo não linear fornecido pelos dados como na Equação (02) (Draper e Smith, 1998):
S(θ)=∑_(t=1)^N▒{y_t-f(x_t,θ)}^2. (02)
Desde que y_t e x_t sejam observações fixas, a soma dos quadrados é uma função de θ. A estimativa de mínimos quadrados θ ̂ de θ é o valor que minimiza S(θ) e pode ser mostrado que esta é também o estimador de máxima verossimilhança (Draper e Smith, 1998) sob suposição de normalidade.
Para encontrar o estimador de mínimos quadrados θ ̂, é necessário diferenciar a expressão S(θ) na Equação (02) com relação a θ. Isso gera P equações normais que precisam ser resolvidas para a obtenção de θ ̂. As equações normais podem ser escritas como na Equação (03):
∑_(t=1)^N▒{y_t-f(x_t,θ)}^2 [∂f(x_t,θ)/(∂θ_i )]_(θ=θ ̂ )=0, (03)
para i=1,2,…,P, e em que expressão algébrica dentro dos colchetes representam as derivadas parciais de f(x_t,θ) com respeito a cada componente de θ e todos os θ’s substituídos pelos correspondentes θ ̂’s, que têm o mesmo subscrito.
Considerando, para cada contribuição experimental x_t, a resposta esperada condicional (Equação (04)):
η_t (θ)=E[y_t |x_t,θ]=f(x_t,θ) (04)
e os vetores η(θ)=(η_1 (θ),η_2 (θ),…,η_N (θ))^T, y=(y_1,y_2,…,y_N )^T e e=(e_1,e_2,…,e_N )^T, o modelo indicado na Equação (01) pode ser escrito na forma vetorial como a Equação (05):
y=η(θ)+e (05)
e a função de soma de quadrados (02) como a Equação (06):
S(θ)=‖y-η(θ)‖^2. (06)
onde a função ‖⋅‖ indica o comprimento de um vetor.
O local da solução
A expressão da soma de quadrados em um modelo linear ou não linear S(θ) tem uma interpretação geométrica de ser o quadrado da distância entre o vetor y e η(θ) em um espaço amostral N-dimensional. À medida que θ é modificado, o vetor η(θ) descreve uma superfície P-dimensional, chamada de “o local da solução” ou “superfície esperada” nesse espaço amostral. Em geral, y não será um ponto no local da solução e a estimativa de mínimos quadrados θ ̂ é um ponto no local da solução próximo de y. Em um modelo linear,
y=Xβ+e
essa superfície é um hiperplano no espaço da resposta gerado pelas colunas de X.
Considerando um modelo com P parâmetros e tamanho da amostra igual a N, pode-se pensar na parte determinística f(x_t,θ) do modelo dada a realização da amostra, como uma função dos P parâmetros em um Domínio Θ⊆R^P e um Contradomínio R^N, e a superfície esperada pode ser de um modo geral, um hiperplano no espaço resposta para o caso de um modelo linear nos parâmetros, já para o caso de um modelo de regressão não linear esta superfície será curvilínea.
Considerando um modelo com mais de um parâmetro, define-se uma linha de parâmetro no plano do parâmetro como sendo a linha associada ao parâmetro que está variando enquanto os demais se mantêm fixos (Bates e Watts, 1988).
Expressões que indicam a adequação de uma aproximação linear e seus efeitos nas inferências são chamadas medidas de não linearidade. É possível mostrar que a não linearidade de um modelo pode ser separada em dois componentes: (i) uma não linearidade “intrínseca” associada com a curvatura no local da solução e (ii) um “efeito-parâmetro” de não linearidade associado com o fato de que as projeções das linhas de parâmetros no plano tangente ao local da solução não são, em geral, nem retas, nem paralelas, nem equidistantes.
Curvaturas RMS (Root Mean Square)
Bates e Watts (1980, 1988) sugerem uma medida simplificadora para o estudo da não linearidade por meio de curvatura. Os mesmos autores apresentam a medida RMS (Root Mean Square), dada pela Equação (07):
c^2=1/A ∫_(‖u‖=1)▒∑_t▒(u^T C_t u)^2 (7)
em que A é área de uma esfera unitária P-dimensional e C_t é a t-ésima face de um array de curvatura que armazena as curvaturas relativas já escaladas por um fator de escala ρ. A notação utilizada pelos mesmos para a curvatura RMS de efeitos paramétricos é c^θ e a curvatura intrínseca RMS por c^l. O cálculo dessas medidas não é simples, mas, felizmente, há rotinas computacionais prontas executá-las.
Pressupondo que os cálculos já foram realizados, surge, então, o problema do que se considera uma curvatura grande. Bates e Watts (1988) sugerem uma escala referencial conveniente que pode ser estabelecida para essas comparações, que é realizada pela comparação da curvatura RMS com aquela do disco de confiança em um nível de confiança específico. Assim, uma curvatura RMS será considerada pequena se ela é muito menor do que a curvatura do disco de confiança, a 100(1-α)%, isto é, c≪1/√F, ou equivalentemente se c√F≪1, em que F=F_((P,N-P;α) ) (quantil da distribuição F).
Assim, deve-se considerar uma superfície esperada com raio 1/c e determinar o desvio da superfície a partir do plano tangencial em uma distância √F do ponto tangencial. Este desvio expressado como uma percentagem do raio do disco de confiança é 100(1-√(1-c√F) )/(c√F), onde, o valor de c√F=0,1 causa um desvio da superfície por 5% de raio de confiança; um valor de c√F=0,2 causa um desvio de 10%; um valor de 0,3 causa um desvio de 15% e assim por diante. Daí, se, por exemplo, aceita-se um desvio de não mais do que 15%, pode-se declarar que uma análise é inaceitável se pelo menos um valor de c√F for maior do que 0,3, quando se substitui c por c^θ ou c^l. Quando isso acontece, o processo inferencial está comprometido, pois a aproximação linear não é aceitável no limite estabelecido.
Uma outra forma de se utilizar dessa medida é na comparação entre dois ou mais modelos: o modelo preferível será aquele que apresentar as menores medidas de curvatura, pois o mesmo apresentará resultados inferenciais mais confiáveis. Isso deve ser feito é claro, levando em conta modelos que descrevem o mesmo fenômeno. Destaca-se que tal análise não deve ser única, ela deverá ser acompanhada de outros aspectos: sentido prático nas interpretações, parcimônia e outros.
Os dados e os modelos estudados
Os dados e os modelos aqui estudados foram utilizados do trabalho de Pereira et al. (2005). Por conta de problemas relacionados a convergência no processo de estimação, optou-se por utilizar apenas seis modelos (Tabela 1). Além disso, foram considerados neste trabalho apenas os dados sob efeito da calagem, não sendo necessário examinar a questão da autocorrelação, tendo em vista que no estudo de curvatura não se está interessado na análise que envolva os resíduos propriamente ditos, o interesse é apenas no conjunto de dados, modelo matemático e delineamento experimental. Considerou-se o índice de mineralização acumulados durante onze tempos de incubação (1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 21 e 28 semanas).
Tabela 1 – Modelos não lineares para a predição da mineralização de nitrogênio num solo.
Referência |
Função Modelo |
(a) Stanford & Smith (1972) |
Nm = N0 [1 – exp(–kt)] + ε |
(b) Marion et al. (1981) |
Nm = N0 [1 – exp(–ktb )] + ε |
(c) Jones (1984) |
Nm = N1 + N2 – [N2 exp(–k2t)] + ε |
(d) Cabrera (1993) |
Nm = N1 [1 – exp(–k1t)] + k0t + ε |
(e) Inubushi et al. (1985) |
Nm = N0q [1 – exp(–kqt)] + N0s[1 – exp(–kst)] + ε |
(f) Broadbent (1986) |
Nm = Atb + ε |
A descrição dos termos (parâmetros) nos diversos modelos é a seguinte: N_m é o nitrogênio mineralizado até o tempo t; t é o tempo de incubação (semanas); N_0 é o nitrogênio potencialmente mineralizável; h,k,k_0,k_1,k_2,k_q são as taxas ou constantes de mineralização; S é a fração menos estável do nitrogênio orgânico; (1-S) é a fração resistente do nitrogênio orgânico; N_1, N_0q é o nitrogênio facilmente mineralizável e N_2, N_0s é o nitrogênio dificilmente mineralizável (Tabela 1).
O software
O software estatístico (livre) R já tem implementado uma função para o cálculo das curvaturas RMS. Tal função é chamada de “rms.curv” do pacote “MASS” (R Core Team, 2024). Essa função fornece os valores de c√F, considerando c igual à c^θ para a curvatura RMS de efeito parâmetro e c^l para a curvatura RMS intrínseca. Para uso dessa função, é necessário também utilizar a função “deriv3” também do pacote “MASS”, que armazena os “arrays” de Hessianos.
A interpretação
A medida de curvatura utilizada neste trabalho é um indicador da qualidade das aproximações numéricas, neste caso, ela pode ser interpretada da seguinte maneira: quanto maior for o seu valor, mais distante estão os resultados inferenciais dos resultados aproximados pelos métodos numéricos, sendo assim, um modelo preferível é aquele que apresentar a menor medida de curvatura possível.
Se a medida de curvatura de efeito parâmetro for alta, significa que a forma como os parâmetros surgem no modelo estão interferindo na aproximação linear dos métodos numéricos, e uma saída para diminuir este valor é uma reparametrização associada ao modelo.
Já no caso da medida de curvatura intrínseca, quando a mesma apresentar um valor alto (pressupondo um distanciamento da aproximação linear não superior a 15%, um valor alto será um valor maior que 0,3), significa que a aproximação por um plano próximo da região de inferência não é recomendável.
Estudos de simulação
Caso algum modelo apresentasse medida de curvatura de efeito intrínseco superior a 0,3 (limite máximo indicado), seriam realizados estudos de simulação computacional visando investigar a partir de qual número de repetições esta medida poderia ser reduzida de modo a permitir que as inferências fossem mais confiáveis.
Um estudo de simulação foi conduzido considerando diferentes números de repetições experimentais, com o objetivo de reduzir o impacto das curvaturas e melhorar a aproximação linear do modelo. Utilizando o software R, os dados foram gerados com base nos parâmetros do modelo e ajustados por meio de métodos iterativos. Posteriormente, foram calculadas as medidas de curvatura RMS (Root Mean Square) para avaliar a adequação de cada modelo.
A simulação foi estruturada com duas variáveis principais: o número de repetições experimentais e o número de simulações. Para cada modelo, foram consideradas de 1 a 20 repetições e 1000 simulações por repetição.
Resultados e discussão
Após realização dos métodos iterativos, foram obtidas as estimativas de cada parâmetro dos modelos com suas respectivas medidas de curvatura de efeito parâmetro e intrínseca. Todos os modelos apresentaram medidas altas (superior a 0,3) para a curvatura de efeito parâmetro (Tabela 2).
Tabela 2 – Estimativas dos parâmetros, medidas de curvatura quadrática média de efeito parâmetro e intrínseca para cada um dos seis modelos apresentados.
Modelo |
Parâmetro |
Estimativas |
(Parâmetro) |
(Intrínseca) |
(a) Stanford e Smith (1972) |
N0 |
158,2924 |
0,4594 |
0,0901 |
k |
0,1640 |
|||
(b) Marion et al. (1981) |
N0 |
157,6508 |
1,1125 |
0,1461 |
k |
0,1603 |
|||
b |
1,0172 |
|||
(c) Jones (1984) |
N1 |
4,2888 |
0,7004 |
0,1303 |
N2 |
155,1727 |
|||
k2 |
0,1559 |
|||
(d) Cabrera (1993) |
N1 |
203,8895 |
6,9488 |
0,1299 |
k1 |
0,1263 |
|||
k0 |
-1,6715 |
|||
(e) Inubushi et al. (1985) |
N0q |
197,0877 |
80061,25 |
1,1376 |
kq |
0,1288 |
|||
N0s |
128,9608 |
|||
ks |
-0,00984 |
|||
(f) Broadbent (1986) |
A |
44,1758 |
0,8306 |
0,099 |
b |
0,4138 |
Medidas de curvatura de efeito parâmetros altas indicam que uma reparametrização do modelo poderá melhorar as inferências, inclusive possibilitando melhora nos métodos iterativos. Fernandes et al. (2015) têm estudado o efeito de reparametrizações nestas medidas e verificado em algumas situações a melhora tanto das medidas de curvatura quanto em outros critérios de seleção de modelos.
O modelo de Inubushi et al. (1985) apresentou a maior de todas as medidas de curvatura de efeito parâmetro, sendo está bem discrepante com relação aos demais. Considerando apenas esta medida, pode-se afirmar que o modelo de Stanford e Smith (1972) apresentou os melhores resultados dentre os demais, com uma curvatura de efeito parâmetro .
Com relação a curvatura intrínseca novamente o modelo de Inubushi et al. (1985) apresentou um pior desempenho com valor 1,1376 (bem maior que 0,3), indicando que as inferências assintóticas para este modelo podem ser questionadas. Os demais modelos apresentaram medidas de curvatura intrínsecas dentro do aceitável (abaixo de 0,3) com destaque para Stanford e Smith (1972), que novamente obteve os melhores valores para esta métrica.
O’Brien e Silcox (2024) avaliam a robustez dos ajustes, especialmente quando se considera a adoção de métricas como a curvatura de Bates e Watts. Para eles, a avaliação realizada neste trabalho é importante para evitar inferências equivocadas em modelos que apresentam alto valor de curvatura.
Alguns trabalhos mais recentes sobre estas medidas têm abordado esse assunto tanto sob uma abordagem frequentista quanto bayesiana. Huang e He (2024), por exemplo, mostraram que as regiões de confiança baseadas na estatística de Wald são afetadas pela curvatura na função de média, analisando como a não linearidade impacta os intervalos de confiança.
Taylan, Uysal e Tez (2018) avaliaram até que ponto a aproximação linear (via expansão de Taylor de primeira ordem) é adequada para modelos nos quais tanto a variável dependente quanto a(s) regressora(s) apresentam erros de medição — um modelo típico de erro em variáveis. Eles concluíram que valores elevados de curvatura indicam que a aproximação por modelo linearizado pode ser inadequada, distorcendo intervalos de confiança e testes estatísticos.
O modelo de Inubushi et al. (1985) geralmente se refere a uma equação de crescimento ou cinética, frequentemente utilizada em ensaios farmacêuticos ou biológicos. No entanto, os artigos recentes que tratam de métricas de curvatura não mencionam explicitamente esse modelo específico. A maioria dos trabalhos atuais concentra-se em modelos canônicos ou em aprofundamentos teóricos/bayesianos da curvatura, sem referenciá-lo. Desse modo, este trabalho é relevante por evidenciar possíveis limitações desse modelo no que se refere às inferências baseadas em aproximações lineares.
Estudo de simulação
Considerando que o modelo de Inubushi et al. (1985) apresentou altos valores da medida de curvatura intrínseca, o que indica que a geometria do modelo afeta significativamente a aproximação linear. Para contornar esse problema, alternativas incluem a reparametrização do modelo ou o aumento do número de repetições experimentais. Conforme mostrado na Figura 1, a partir de aproximadamente 8 repetições, as curvaturas RMS intrínsecas começaram a reduzir de forma significativa, atingindo o valor de referência de 0,3, o que resultaria em maior confiabilidade nas inferências.
Figura 1 – Estimação do índice de curvatura média para amostras simuladas e estimadas pelo modelo Inubushi et al. (1985) para diferentes números de repetições.
Todavia, deve-se considerar que na prática, este número de repetições pode se tornar inviável para a execução experimental. Isso deve ser levado em conta no planejamento de experimentos similares. Uma alternativa, caso tal número de repetições seja inviável na prática, é simplesmente descartar este modelo e trabalhar com os demais que não necessitam de um grande número de repetições para alcançar os resultados desejados.
Um outro aspecto observado no modelo de Inubushi et al. (1985) durante o estudo de simulação foi a taxa de convergência a partir dos valores iniciais para que os métodos iterativos fossem executados. Observou-se que para um número de repetições pequeno ocorreu alta taxa de não convergência. Isso se deve provavelmente a complexidade da forma matemática deste modelo, com um número maior de parâmetros que os demais (Tabela 1).
Não foram identificados trabalhos recentes (ou mesmo antigos) que demonstrem explicitamente que o aumento do número de repetições (réplicas) em experimentos reduz diretamente a curvatura RMS (root mean square) em modelos de regressão não linear. Nesse sentido, os resultados de simulação obtidos neste trabalho são relevantes por indicarem a partir de qual número de repetições as inferências estatísticas se tornam mais adequadas para o modelo em estudo.
Conclusão
Dos seis modelos estudados, o modelo de Inubushi et al. (1985) foi o que apresentou o pior desempenho tanto com relação as medidas de curvatura de efeito parâmetro, como pela curvatura de efeito intrínseco, indicando que para este modelo, as inferências para pequenas amostras poderão não ser confiáveis. Os estudos de simulação mostraram que a partir de oito repetições, a medida intrínseca de curvatura para este modelo, passa a ter valores viáveis, produzindo inferências mais confiáveis.
Todos os seis modelos estudados apresentaram medidas de curvatura de efeito parâmetro superior a 0,3, indicando que uma reparametrização destes podem melhorar tanto os métodos iterativos de estimação bem como a confiabilidade das inferências. Destacando-se como aqueles com pior desempenho segundo está métrica os modelos propostos por Inubushi et al. (1985) e Cabrera (1993).
Conflitos de interesse
Não houve conflito de interesses dos autores.
Contribuição dos autores
Luísa Nascimento Ribeiro – análise dos dados e modelos estudados, interpretação dos resultados e redação; Edcarlos Miranda de Souza – análise dos dados e modelos estudados, implementação computacional, interpretação dos resultados, redação, ideia original, orientações e correções; Djair Durand Ramalho Frade – análise dos dados e modelos estudados, implementação computacional, interpretação dos resultados, redação, orientações e correções; Lorena Yanet Cáceres Tomaya – análise dos dados e modelos estudados, implementação computacional, interpretação dos resultados, redação, orientações e correções.
Apoio financeiro
A Universidade Federal do Acre – UFAC, pela disponibilização de carga horária de trabalho para os professores pesquisadores.
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Recebido em 11 de dezembro de 2024
Retornado para ajustes em 3 de junho de 2025
Recebido com ajustes em 27 de junho de 2025
Aceito em 1 de julho de 2025